Wiskunde trucs

Procentsom omdraaien

• 32% van 5 = 5% van 32
• 20% van 75 = 75% van 20
• 40% van 125 = 125% van 40

Reeks kwadraten van gehele getallen

Om bij de reeks kwadraten van gehele getallen (4, 9, 16, 25, 36, 49, ...) het volgende getal te vin­den, tel je 2 keer het basisgetal plus 1 er bij op.

• 6² = 36
  36 + (2 x 6) + 1
  7² = 49
• 12² = 144
  144 + (2 x 12) + 1
  13² = 169
• 25² = 625
  625 + (2 x 25) + 1
  26² = 676

Kwadraten van n½

Het kwadraat van een geheel getal n plus een half is de som van n x (n+1) + ¼

• (2½)² = 2 x 3 + ¼ = 6¼
• (6½)² = 6 x 7 + ¼ = 42¼
• (43½)² = 43 x 44 + ¼ = 1892¼

Product van 11

Om een getal van twee cijfers te vermenig­vul­digen met 11 tel je de twee cijfers bij elkaar op en plaats je die tussen de twee cijfers.

• 24 x 11
  2 + 4 = 6
  2 6 4
  24 x 11 = 264
• 61 x 11
  6 + 1 = 7
  6 7 1
  61 x 11 = 671
• 77 x 11
  7 + 7 = 14
  7 14 7
  77 x 11 = 847

Tafel van 9

1. Schrijf onder elkaar de cijfers van 0 t/m 9
2. Schrijf rechts daar­van onder elkaar de cijfers 9 t/m 0

•   1 x 9 = 0 9
    2 x 9 = 1 8
    3 x 9 = 2 7
    4 x 9 = 3 6
    5 x 9 = 4 5
    6 x 9 = 5 4
    7 x 9 = 6 3
    8 x 9 = 7 2
    9 x 9 = 8 1
  10 x 9 = 9 0

Tafel van 99

1. Schrijf onder elkaar negen keer 9
2. Schrijf links daar­van onder elkaar de cijfers 0 t/m 9
3. Schrijf helemaal rechts onder elkaar de cijfers 9 t/m 0

1 x 99 = 0 9 9   2 x 99 = 1 9 8   3 x 99 = 2 9 7   4 x 99 = 3 9 6   5 x 99 = 4 9 5   6 x 99 = 5 9 4   7 x 99 = 6 9 3   8 x 99 = 7 9 2   9 x 99 = 8 9 1 10 x 99 = 9 9 0

1 x 999 = 0 99 9   2 x 999 = 1 99 8   3 x 999 = 2 99 7   4 x 999 = 3 99 6   5 x 999 = 4 99 5   6 x 999 = 5 99 4   7 x 999 = 6 99 3   8 x 999 = 7 99 2   9 x 999 = 8 99 1 10 x 999 = 9 99 0

1 x 9999 = 0 999 9   2 x 9999 = 1 999 8   3 x 9999 = 2 999 7   4 x 9999 = 3 999 6   5 x 9999 = 4 999 5   6 x 9999 = 5 999 4   7 x 9999 = 6 999 3   8 x 9999 = 7 999 2   9 x 9999 = 8 999 1 10 x 9999 = 9 999 0

Opvolgende getallen optellen

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20   1 + 20 = 21   2 + 19 = 21   3 + 18 = 21   4 + 17 = 21 ... 10 + 11 = 21 Totaal 20/2 = 10 getalparen Totaalsom: 10 x 21 = 210

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 76   1 + 76 = 77   2 + 75 = 77   3 + 74 = 77   4 + 73 = 77 ... 38 + 39 = 77 Totaal 76/2 = 38 getalparen Totaalsom: 38 x 77 = 2926

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 432   1 + 432 = 433           Totaal 432/2 = 216 getalparen Totaalsom: 216 x 433 = 93.528

Zes decimalen van Pi ont­hou­den

1. onthoud de zin “How I wish I could calculate Pi”
2. tel het aantal letters per woord

Alternatieven:

• Wow, I made a great discovery! (3.14159)
• Can I have a small container of coffee? (3.1415926)
• How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures invol­ving quantum mechanics. (3.14159265358979)

Vermenig­vul­digen met grote getallen dicht bij 100

Bereken bij het vermenig­vul­digen van de twee getallen eerst de twee linkse cijfers en dan de twee rechtse cijfers.

1. bereken het verschil tussen het eerste getal en 100
   bereken het verschil tussen het tweede getal en 100
   tel deze twee getallen op
   bereken het verschil tussen dit getal en 100
   dit zijn de eerste twee cijfers van het ant­woord
2. vermenig­vul­dig de eerste twee verschillen van de vorige bereke­ning
   dit zijn de laatste twee cijfers van het ant­woord

97 x 96 100 - 97 100 - 96 3 + 4 100 - 7 3 x 4 97 x 96

= = = = = =

3 4 7 93 12 93 12

93 x 98 100 - 93 100 - 98 7 + 2 100 - 9 7 x 2 93 x 98

= = = = = =

7 2 9 91 14 91 14

88 x 95 100 - 88 100 - 95 12 + 5 100 - 17 12 x 5 88 x 95

= = = = = =

12 5 17 83 60 83 60

Worteltrekken uit het hoofd

Je kunt uit het hoofd vrij nauw­keurig wor­teltrekken met een trucje.

1. bepaal het gehele getal van de uit­komst
2. bepaal het verschil tussen dit gehele getal in het kwadraat en het getal waarover je de wor­tel wilt berekenen
3. de uit­komst is het gehele getal van stap 1 + het verschil van stap 2 / (twee keer het gehele getal van stap 1)

wor­tel	geheel	kwadraat	rest	deler	bereke­ning	uit­komst	exact	verschil
√ 19	4	4² = 16	19-16=3	2*4=8	4 3/8	4,38	4,36	0,02
√ 41	6	6² = 36	41-36=5	2*6=12	6 5/12	6,42	6,40	0,02
√ 75	8	8² = 64	75-64=11	2*8=16	8 11/16	8,69	8,66	0,03
√ 131	11	11² = 121	131-121=10	2*11=22	11 10/22	11,45	11,45	0,00
√ 3873	62	62² = 3844	3873-3844=29	2*62=124	62 29/124	62,23	62,23	0,00

Kwadraatpiramide

1²	=	1
11²	=	121
111²	=	12321
1111²	=	1234321
11111²	=	123454321
111111²	=	12345654321
1111111²	=	1234567654321
11111111²	=	123456787654321
111111111²	=	12345678987654321

SosCasToa

Een ezelsbruggetje voor het gebruik van sinus, cosinus en tangens is het woord SosCasToa.

• Sos: Sinus = overstaand / schuin
• Cas: Cosinus = aan­lig­gend / schuin
• Toa: Tangens = overstaand / aan­lig­gend

Sinus - Cosinus - Tangens

sin(0°) = 0 sin(30°) = 0,5 sin(90°) = 1 sin(150°) = 0,5 sin(180°) = 0 sin(210°) = -0,5 sin(270°) = -1 sin(330°) = -0,5 sin(360°) = 0

cos(0°) = 1 cos(30°) = 0,5 cos(90°) = 0 cos(150°) = -0,5 cos(180°) = -1 cos(210°) = -0,5 cos(270°) = 0 oss(330°) = 0,5 cos(360°) = 1

tan(0°) = 0 tan(45°) = 1 tan(90°) = ∞ tan(135°) = -1 tan(180°) = 0 tan(225°) = 1 tan(270°) = ∞ tan(315°) = -1 tan(360°) = 0

Pythagoras met mooie ronde getallen

Ie­der­een kent de stelling van Pythagoras: bij een drie­hoek met een rechte hoek geldt dat de som van de kwadraten van de zij­den aan weerszij­den van de rechte hoek, gelijk is aan het kwadraat van de overstaande, schuine zijde. a² + b² = c²

De meeste mensen kennen ook wel het magische trio 3/4/5
De wis­kun­dige term hier­voor is primitieve pythagorese drieling.
Ook veelvou­den voldoen aan de stelling: 6/8/10, 9/12/15, 30/40/50

Onder de 100 zijn er maar liefst 16 ver­schil­lende primitieve pythagorese drielingen:

3/4/5	3² + 4² = 5²	9 + 15 = 25
5/12/13	5² + 12² = 13²	25 + 144 = 169
8/15/17	8² + 15² = 17²	64 + 225 = 289
20/21/29	20² + 21² = 29²	400 + 441 = 841
12/35/37	12² + 35² = 37²	144 + 1225 = 1369
9/40/41	9² + 40² = 41²	81 + 1600 = 1681
28/45/53	28² + 45² = 53²	784 + 2025 = 2809
11/60/61	11² + 60² = 61²	121 + 3600 = 3721
16/63/65	16² + 63² = 65²	256 + 3969 = 4225
33/56/65	35² + 56² = 65²	1089 + 3136 = 4225
48/55/73	48² + 55² = 73²	2304 + 3025 = 5329
13/84/85	13² + 84² = 85²	169 + 7056 = 7225
36/77/85	36² + 77² = 85²	1296 + 5929 = 7225
39/80/89	39² + 80² = 89²	1521 + 6400 = 7921
65/72/97	65² + 72² = 97²	4225 + 5184 = 9409

Band om de aarde

De omtrek van de aarde is ongeveer 40.000 km. Stel je voor dat je een band kunt aan­bren­gen strak om de aarde. Stel je voor dat je die band dan met 10 meter verlengt en de speling die ont­staat gelijk ver­deelt over de gehele omtrek, hoeveel is dan die speling? Is er voldoende speling om er een muis onderdoor te laten lopen?

omtrek aarde:	40.000	km
omtrek aarde:	40.000.000	m
dia­me­ter aarde:	40.000.000 / π	m
dia­me­ter aarde:	12.732.395,45	m
straal aarde:	6.366.197,72	m
verlengde band:	40.000.010	m
dia­me­ter band:	40.000.010 / π	m
dia­me­ter band:	12.732.398,63	m
straal band:	6.366.199,32	m
speling:	1,59	m